《排列组合综合问题.[五篇范例]》

排列组合综合问题.[五篇范例]

第一篇：排列组合综合问题.[文件]sxgdja0017.doc[科目]数学[年级]高中[章节]

[关键词]排列/组合/综合[标题]排列组合综合问题[内容]

北京市东直门中学吴卫教学目标

通过教学，学生在进一步加深对排列、组合意义理解的基础上，掌握有关排列、组合综合题的基本解法，提高分析问题和解决问题的能力，学会分类讨论的思想.教学重点与难点

重点：排列、组合综合题的解法.难点：正确的分类、分步.教学用具投影仪.教学过程设计

（一）引入

师：现在我们大家已经学习和掌握了一些排列问题和组合问题的求解方法.今天我们要在复习、巩固已掌握的方法的基础上，来学习和讨论排列、组合综合题的一般解法.先请一位同学帮我们把解排列问题和组合问题的一般方法及注意事项说一下吧。生：解排列问题和组合问题的一般方法直接法、间接法、捆绑法、插空法等.求解过程中要注意做到“不重”与“不漏”.

师。回答的不错。解排列问题和组合问题时，当问题分成互斥各类时，根据加法原理，可用分类法；当问题考虑先后次序时，根据乘法原理，可用位置法；这两种方法又称作直接法.当问题的反面简单明了时，可通过求差排除采用间接法求解；另外，排列中“相邻”问题可以用“捆绑法”；“分离”问题可能用“插空法”等.解排列问题和组合问题，一定要防止“重复”与“遗漏”.（教师边讲，边板书）互斥分类——分类法先后有序——位置法反面明了——排除法相邻排列——捆绑法分离排列——插空法

（二）举例

师：我下面我们来分析和解决一些例题.（打出片子——例1）

例1有12个人，按照下列要求分配，求不同的分法种数.（1）分为两组，一组7人，一组5人；

（2）分为甲、乙两组，甲组7人，乙组5人；（3）分为甲、乙两组，一组7人，一组5人；（4）分为甲、乙两组，每组6人；（5）分为两组，每组6人；

52（6）分为三组，一组5人，一组4人，一组3人；

（7）分为甲、乙、丙三组，甲组5人，乙组4人，丙组3人；（8）分为甲、乙、丙三组，一组5人，一组4人，一组3人；（9）分为甲、乙、丙三组，每组4人；（10）分为三组，每组4人.

（教师慢速连续读一遍例1，同时要求学生审清题意，仔细分析，周密考虑，独立地求解.这是一个层次分明的排列、组合题，涉及非平均分配、平均分配和排列组合综合.各小题之间有区别、有联系，便于学生分析、比较、归纳，有利于学生加深理解，提高能力）师：请一位同学说一下各题的答案（只需要列式）.

7566生：（1），（2），（3）都是c12；（4），（5）都是c12；（6），（7），（8）c5c654344都是c12（9），（10）都是c12c7c3；c84c4师：从这个同学的解答中，我们可以看出他对问题的考虑分先后次序，用位置法求解是掌握了的.但是还请大家审清题意，看（3）与（1），（2）；（5）与（4）；（8）与（6），（7）；（10）与（9）是否分别相同，有没有出现“重复”和“遗漏”的问题.（找班里水平较高的一位学生回答）生：（3）和（1），（2）；（5）和（4）；（8）和（6），（7）；（10）和（9）并不相同.（3），（5），（8），（10）的答案都错了，既出现了“重复”也出现了“遗漏”的问题.（3）的答案是ccp312552（5）是2；

6644c12c6c12c84c45433；（8）是c12c7c3p3（10）是p22p33（教师在学生回答时板书各题答案）

师：回答的正确，请说出具体的分析.生：（3）把12人分成甲、乙两组，一组7人，一组5人，但并没有指明甲、乙谁是7人，谁是5人，所以要考虑甲、乙的顺序，再乘以p2；（8）也是同一道理.（5）把12人分成两组，

66每组6人，如果是分成甲组、乙组，那么共有c12种不同分法，但是（5）只要求平均分c62成两组，这样甲、乙组两元素的所有不同排列顺序，甲乙、乙甲共p22个就是同一种分组了，66c12c6所以（5）的答案是；（10）的道理相同.2p2师：分析的很好。我们大家必须认识到，题目中具体指明甲、乙与没有具体指明是有区别的.如果在解题过程中不加以区别，就会出现“重复”和“遗漏”的问题，这是解决排列、组合题时要特别注意的.例1中，（1），（2），（6），（7）都是非平均分配问题，虽然（1），（6）都没有指出组名，而（2），（7）给出了组名，但是在非平均分配中是一样的.这是因为（2），（7）不仅给出了组名，而且还指明了谁是几个人，这一点上又与（3），（8）有差异.（3），（8）给了组名却没有指明谁是几个人.题中（4），（5），（9），（10）都属于平均分配问题，在平均分配中，如果没有给出组名，一定要除以组数的阶乘。如果12个人分成三组，其中一组2人，另外两组都是5人，求所有不同的分法种数.这里有不平均（一组2人），又有平均（两组都是是5人）.怎么办。53生：分两步完成.第一步：12个人中选2人的方法数c212；第二步：剩下的10个人平均分

5555c10c5c10c52成两组，每组5人的方法数，根据乘法原理得到，共有c12种不同的分法.22p2p2师：很好。大家已经理解了不平均分配的、平均分配，以及部分平均分配的计算，部分平均

分配问题先考虑不平均分配，剩下的仍是平均分配，平均分配要商除.这样分配问题已彻底解决了.请看例题2.

（打出片子——例2）

（1）6男2女排成一排，2女相邻；（2）6男2女排成一排，2女不能相邻；（3）4男4女排成一排，同性者相邻；（4）4男4女排成一排，同性者不能相邻.（教师读题、巡视）师：请一位同学说出（1），（2）的答案.

872生甲：n1＝p77p22；n2＝p8p7p2

师。完全正确。他是用捆绑法解决“相邻”问题的，把2女“捆绑”在一起看成一组，与6男共7组，组外排列为p77，女生组内排列为p2，得2女相邻排法数n1＝p77p22；（2）是用捆绑法结合排除法来解得，从总体排列p88中排除n1得2女不相邻的排法数n2＝

2p88p77p22

（教师的复述是为了使水平较差学生明白解题思路，了解分析方法，真正理解解法）师：（2）的不相邻的分离排列还有没有其它解法。生乙：可以用插空法直接求解.6男先排实位，再在7个空位中排2女，共有n2＝p66p72种不同排法.（板书（1），（2）算式）

师。对于（2）的两种解法思路不同，但殊途同归，结果一样，都是正确的.两种解法解决分离问题是否都很方便呢。试想，如果“5男3女排成一排，3女都不能相邻“p88p66p33与p55p63一样吗。大家动手计算一下.

生：前者是36000，后者是14400，不一样，肯定有问题.师：p66p33是什么。生：3女相邻.

师：3女相邻的反面是什么。生：p8p6p3是3女不都相邻，其中有2女相邻，不是3女都不相邻.

师：这一例题说明什么。生：不相邻的分离排列还是用插空法要稳妥一些.

师。请大家下课后想一想，用捆绑法结合排除法能否解决上述问题，如果能解决，应该怎么做。我们继续分析和解决（3），（4）两小题.86354n3＝p33p44p44；n4＝2p44p44.（板书（3），（4）的算式）

834444师。非常正确。（4）吸取了（2）的教训，没有用p8p3p4p4，并且没有简单的用p4p5

插空，而是考虑到了男、女都要排实位，否则会出现.（板书）

（女男男女男女男女）两男或两女相邻的问题.这时同性不相邻必须男女都排好，即男奇数位，女偶数位，或者对调.

（通过对例2的讨论和分析，能够帮助学生对于分离排列、排除法以及插空法有更清楚的认识，只有这样学生才会找到合理的解法，提高分析和解决问题的能力.）师：我们再来看一个例题.（打出片子——例3）

例3某乒乓球队有8男7女共15名队员，现进行混合双打练习，两边都必须是1男1女，共有多少种不同的搭配方法。（教师朗读一遍例3后巡视）师：请同学说一下答案.

224生：n＝c8.c7p4（板书此式）师：怎么分析的呢。

22生：每一种搭配都需要2男2女，先把4名队员选出来，有c8c7种选法，然后考虑4人的排法，故乘以p44

师：选出的4名队员做全排列，那么（板书）男a男b、女a女b行吗。生：不行，有“重复”了，应该乘以什么呢。师：这就需要我们再把问题想想清楚了，当选出2男2女队员进行混合双打时，有几种搭配方法呢。（板书）男——男女①aabb②abba③baab④bbaa以上四种吗。生：不是。③与②，④与①属于同一种，只有2种搭配，应该乘以2.

22师：这就对了.n=2c8c7，还可以用下面的思路：先在8男中选2男各据一侧，是排列问222题，有p82种方法；再在7女中选2女与之搭配，是组合问题，有c7种方法，一共有n=p8c7种搭配方法.（板书）

22解法1：n=2c8c722解法2：n=p8c7

55师：最后看例4（打出片子——例4）

例4高二（1）班要从7名运动员中选出4名组成4×100米接力队，参加校运会，其中甲、乙二人都不跑中间两棒的安排方法有多少种。（教师读题，引导分析）

师：从7人中选4人分别安排第

一、

二、

三、四棒这四个不同任务，一定与组合和排列有关，对甲、乙有特殊要求，这就有了不同情况，要分类相加了.先不考虑谁跑哪棒，就说4人的选择有几类情况呢。

53生：三类，第一类，没有甲乙，有c4种选法；第二类，有甲没乙或有乙没甲，有2c5种选

2法；第三类，既有甲也有乙，有c5种选法.

师：如果把上述三类选法数相加再乘以p44行不行。生：不行，对于上面三类不同选法，并不能都有p44种安排方法.考虑甲、乙二人都不跑中

44313222间两棒，应有不同的安排方法数是：n=c5p42c5p2p3c5p2p2.

师：第二项中的p21p33是什么意思呢。生：第二类中甲、乙两人只有1人选中时，甲（乙）的排法数量是p21，其他三人的排法数是p33.

师：很好，这个排列组合综合题在求解中的分类十分重要，大家要认真体会，了解其思路和方法.

（三）小结

我们通过对4个例题的分析和讨论，总结了分配问题，分离排列问题的解法，以及排列、组合综合题的解法.

解排列、组合综合题，一般应遵循：先组后排的原则.解题时一定要注意不重复、不遗漏.

（四）作业

1.四名优秀生保送到三所学样去，每所学样至少得1名，则不同的保送方案总数是种.（

23c4p336）

2.有印着0，1，3，5，7，9的六张卡片，如果允许9当作6用，那么从中任意以组成多少个不同的三位数。（6p或2c4p2p22c4p3c4p2p2p4152）5p4c1c4p2152课堂教学设计说明

关于排列组合的应用题，由于其内容独特，自成体系；种类繁多，题目多变；解法别致，思维抽象；条件隐晦，难以捉摸；得数较大，不易检验.所以这一课历来是学生学习中的难点.为了降低解题的难度，在教会学生基本方法的同时，一定要使学生学会转化，分类的思想方法，将复杂的排列、组合综合题转化为若干个简单的排列、组合问题.基于这一点，在例题的选排上，特别安排了例1，在复习巩固前面所学基本解法的基础上，总结了分配问题的解法，并引出了简单的排列组合综合问题.通过例2来讨论排列中常见的相邻排列和分离排列问题，2111211233212256以及排除法、插空法等解法在应用中需注意的事项.例

3、例4是典型的排列、组合综合题，分别侧重了分步和分类两个难点.

教学方法上，以问答形式，通过讨论分析，引导学生正确思维，培养学生分析问题和解决问题的能力.操作过程中也要根据学生的具体情况，采取多变的方式.学生配合的好，就以学生为主，学生回答问题不尽如人意时，就需要教师在提高语言、方式等方面多做文章，或以教师的讲授为主.

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第二篇：排列组合常见问题答案学大教育科技（北京）有限公司

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排列组合问题常见解法

排列组合问题是高考考察的重点，每年必考内容，常是一个选择题或一个填空题，分值为5分，难度为中等难度，在分布列计算中也常用到排列组合的计算，先将排列组合问题解法介绍如下，供同学们参考。

一、元素分析法

在解有限定元素的排列问题时，首先考虑特殊元素的安排方法，再考虑其他元素的排法。

例1（06全国）安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日。不同的安排方法共有

种（用数字作答）

解：因甲、乙二人都不安排在5月1日和2日，所以先安排甲、乙，在5月3日至5月7日5天中选2天安排甲、乙有a52种方法，再安排其余5人，有a55种方法，故共有a55a52=2400种

二、位置分析法

在解有限定位置的排列问题时，首先考虑特殊位置的安排方法，再考虑其他位置的排法。例2题同例1解：因5月1日和2日不能安排甲、乙，所以先安排5月1日、2日，在除甲、乙外5人中选2人安排到5月1日、2日，有a52种方法，再安排其余5天，有a55种方法，故共有a52a55=2400种

三、间接法又叫排除法，在解有限定条件的排列问题时，首先求出不加限定条件的排列数，再减去不符合条件的排列数。例3题同例1

725解。安排7人在5月1日至5月7日值班，有a7种方法，其中甲、乙二人都安排在5月1日和2日有a2a511257251125种，甲、乙仅一人安排在5月1日和2日有c2c5a2a5种。不同的安排方法共有a7-a2a5-c2c5a2a5=2400种

四、树图法

又称框图法，用树图或框图列出所有排列（或组合），从而求出排列数。适合限定条件在3个以上，排列组合问题。

例4已知集合m={a，b，c}，n={1，0，-1}，在从集合m到集合n的所有映射f中，满足f（a）+f（b）=f（c）的映射有多少个。

解：满足条件的映

所以满足条件的映射有7个。

五、逐一插入法

若干元素必须按照特定的顺序排列的问题，先将这些“特殊元素”按指定顺序排列，再将“普通元素”逐一插入其间或两端。

例5（06湖北）某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6项工程的不同排法种数是

。（用数字作答）

解：（逐一插入法）先将工程甲、乙、丙、丁按指定的顺序排成一排，有1种方法，将丙丁看成一项工程，再在甲、乙、丙（丁）之间和两端的4个空档安排其余2项工程1项工程，有a4种方法，再在这4项工程之间和两端

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111的5个空档安排其余1项工程，有a5种方法，所以共有a4a5=20种方法。

六、消序法

若干元素必须按照特定的顺序排列的问题，先将所有元素全排列，再将特殊元素在其位置上换位情况消去（通常除以特殊元素的全排列数），只保留指定的一种顺序。

例6（06江苏）今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有种不同的方法（用数字作答）

解：先将9个球排成一排有a99种不同的方法，其中，2个红球有a22排法，3个黄球有a33排法，4个白球有a4排法，因同色球不加以区分，所以2个红球、3个黄球、4个白球都各有1中排法，消去它们的顺序得将这94个球排成一列有a922944aaa33=1260种

七、优序法

若干元素必须按照特定的顺序排列的问题，先从所有位置中按“特殊元素”个数选出若干位置，并把这些特殊元素按指定顺序排上去，再将普通元素在其余位置上全排列。

例7（06湖北）某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6项工程的不同排法种数是

。（用数字作答）

解。先将丙丁看作1项工程，再在5个位置中选3个位置，按指定顺序安排甲、乙、丙（丁）3项工程，有c53种方法，再在其余2个安排其余2项工程，有a22种方法，所以共有a22c5=20种方法。

3八、捆绑法

若某些元素必须相邻，先把这几个相邻元素捆在一起看成一个元素，再与其他元素全排列，最后再考虑这几个相邻元素的顺序。

例8（05辽宁）用

1、

2、

3、

4、

5、

6、

7、8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，3与4相邻，5与6相邻，7与8不相邻，这样的八位数共有

个。（用数字作答）

解：先将1与

2、3与

4、5与6各看成一个元素，将这3个元素排成一排，有a3种方法，再在这3个元素之间和两端的4个空档中选3个安排7与8，有

a4种方法，再排1与

2、3与

4、5与6的顺序，各有2种方法，所以共有a3a423=257种方法，因每一种排法对应一个八位数，所以这样的八位数共有257个。332

2九、插空法

若某些元素不相邻，先将普通元素全排列，然后再从排就的每两个元素之间及两端选出若干个空挡插入这些特殊元素。

例9有一排8个相同的座位，选3个座位坐人，要求每人两边都有空位，这3人有多少不同的安排方法。解：因3个坐人的座位不相邻，用插空法，先将5个空位排成一排有1种方法，然后在5个空位的4空档选3个空档安排坐人的3个座位，有a4=24种不同的方法，这3人有24不同的安排方法。

十、查字典法

对数的大小顺序排列问题常用此法。（1）先把每一个数字（符合条件）打头的排列数计算出来；（2）再找下一位数字。

例10在由1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的五位数中，大于23145且小于43521的数共有（

）

a.56

b.57

c.58

d.60

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12解：首位为2第二位为3第三位为1比23145大的数只有1个；首位为2第二位为3第三位比1大的数有a2a2

13134=4个；首位为2第二大于3的数a2a3=12个；首位为3的数有a424个；首位为4第二位比3小的数有a2a3=12

12个；首位为4第二位为3第三位比5小的数有a2a2=4个；首位为4第二位为3第三位为5比43521小的数有1个。所以大于23145且小于43521的数共有1+4+12+24+12+4+1=58个。

十一、分组问题

（1）若各组元素个数均不相同，则逐组抽取。

（2）若其中有若干组元素个数相同，则逐组选取，因元素个数相同，所以组间无差别，故除以元素个数相同组数的全排列以消序。

例11（06江西）将7个人分成三个组，一组3人，另两组2人，不同的分组数为a，则a为（

）

a.105

b.105

c.210

d.210

解。先在7人选3人作为1组，有c73种方法，再从其余4人中选2人作为1组，有c42种方法，再把余下2人作为1组有c22种方法，因后2组人数相同，故应认为这2组无序，应除以a22。

∴不同的分组有c7c4c2a22322=105种

十二、隔板法

又叫隔墙法，插板法，n件相同物品（n个名额）分给m个人，名额分配，相同物品分配常用此法。

若每个人至少1件物品（1个名额），则n件物品（n名额）排成1排，中间有n-1个空挡，在这个n-1空档选m-1个空挡放入隔板，隔板1种插法对应1种分法，所以有cn1种分法。

若允许有人分不到物品，则先把n件物品和m-1块隔板排成一排，有n+m-1个位置，从这个位置中选m-1个位置放隔板，有cnm1种方法，再将n件物品放入余下的位置，只有1种方法，m-1块隔板将物品分成m块，从左到右可看成每个人分到的物品数，每1种隔板的放法对应一种分法，所以共有cnm

1种分法。

例129个颜色大小相同的分别放入编号分别为1，2，3，4，5，6的6个盒中，要求每个盒中至少放1个小球，有多少种方法。

解。（法1）将9个小球排成一排，9个小球之间有8个空挡，在这8个空挡选5个空挡放5个隔板，将9个小球分成6份，每份至少1个球，将这6份放到6个盒中，有c8=56种方法。

（法2）先给每个盒中放1个球，然后将余下的3个小球和5块隔板排成一排，排列位置有8个，先从8个位置中选5个放隔板，有c8=56种方法，再余下位置放小球只有1种方法，5块隔板将小球分成6块，从左到右看成6个盒所得球数，每一种隔板放法对应1种分法，故有c8=56种方法。

十三、排列组合综合问题

排列组合综合问题，应先取后排；较复杂的排列组合问题，如含“至多”、“至少”、多个限定条件问题，注意分类讨论。

例14（06陕西）某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教（每地1人），其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有

种。

解：由题知，若选甲，则必不选乙，必选丙，须从除甲乙丙外5人中选2人，有c5种方法；若不选甲，则必不

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选丙，须从除甲丙外6人中选4人，有c64种方法，再将选出的4人分到4个地区，有a44方法，所以不同的选派方案共有（c53+c64）a44=600种。

例14现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作；有4名青年能胜任德语翻译工作，现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法。

解：（法1）我们可以分成3类：

①让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作，有c42c32；

1②让两项工作都能担任的青年从事德语翻译工作，有c43c3；

③让两项工作都能担任的青年不从事任何工作，有c43c32；

1∴由分类计数原理，总的方法一共有c42c32+c43c3+c43c32=42十

四、一一映射转化法

例15一个楼梯共有11级台阶，每步走1阶或2阶，7步走完，一共有多少种走法。

解。11级台阶，要求7步走完，每步走1阶或2阶，显然，必须有4步走2阶，3步走1阶。设每步走1阶为a每步走2阶为b，则原问题相当于在8个格子选个格子填a，其余填b，这是一个组合问题，所以一共有c7=35种不同的走法。

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（b）10种

（c）9种

（d）8种