《金融数学之心得》

金融数学之心得

价格向上变动的次数i为服从二项分布的随机变量；价格向下变动的次数ni也服从同样的分布。因此我们说，价格过程服从二叉树。对于n期二叉树所有状况的集合，在每一个时段上涨或者下跌共有2个元素。例如，两时段股票价格二叉树如图33所示；三时段二叉树如图34所示。

n

为简单起见，假设在这两个图中，s（0）1。

练习3.13如果s（1）的可能值为87美元和76美元，s（2）的最大可能值为92美元，计算u和d。

练习3.14假设在连续复合之下，无风险收益率为14%，时段为1个月，s（0）22美元，d0.01，计算与条件3.2一致的s（2）的中间值的范围。

练习3.15假设28美元、32美元和x美元是s（2）可能值，计算x。假设股票价格服从二叉树，你能画出这棵树吗。画法是否唯一。

练习3.16假设股票价格服从二叉树模型，s（2）的可能值是121美元、110美元和100美元。当s（0）100美元时，计算u和d；当s（0）104美元时，计算u和d。

3.2.1风险中性概率

在二叉树模型中，即使不知道股票未来的确切价值，也可以计算出股票的期望价格。然后可将这些期望价格与无风险投资进行比较。我们可以将这个简单的思想应用于衍生证券（例如期权、远期、期货）中，这些应用是广泛且令人惊奇的，我们将在以后各章研究这个问题。

首先，我们研究股票价格期望e（s（n））的动态变化。当n1时，有

e（s（1））ps（0）（1u）（1p）s（0）（1d）

s（0）（1e（k（1）））式中，

e（k（1））pu（1p）d

是单收益的期望，下面我们将其扩展到任意的n的情形。命题3.4当n0，1，2，时，股票价格的期望为

ne（s（n））s（0）（1e（k（1）））

证明

因为单期收益k（1），k（2），是不相关的，于是随机变量1k（1），1k（2），也是不相关的，由此得出

e（s（n））e（s（0）（1（k（1））（1k（2））（1k（n）））

s（0）e（1k（1））e（1k（2））e（1k（n））

s（0）（1e（k（1）））（1e（k（2）））（1e（k（n）））

因为k（n）是同分布的，其期望相同，即

e（k（1））e（k（2））e（k（n））

于是我们就证明了e（s（n））的公式。

如果将s（0）的金额在时间0投资于无风险资产，n个时段以后，它将增长为s（0）（1r）。显然，要比较e（s（n））和s（0）（1r），我们只须比较e（k（1））和r即可。

股票投资存在风险，因为价格s（n）预先是未知的。一个典型的风险厌恶的投资者要求e（k（1））r，因为他认为应该有更高的回报作为对风险的补偿。反之，当e（k（1））r时，如

nn果收益高的非零概率很小，收益低的非零概率很大（典型的例子是彩票，其收益为负），对某些投资者而言仍然有吸引力，我们称这样的投资者是风险偏好者。我们将在第5章讨论此问题，并给出风险的准确定义。市场的边缘情况，此时e（k（1））r，被认为是风险中性的。为方便起见，我们对风险中性引入特殊的概率符号p*以及相应的取数学期望的符号e*，满足条件

e*（k（1））p*u（1p*）dr

（3.4）

由式（3.4）即可推导出p*rdud

我们称p*为风险中性概率；e*为风险中性期望。弄清楚p*是一个抽象的数学概念，它可以不等于市场的实际概率p很重要，即仅在风险中性的市场上有pp*。风险中性概率p*甚至于可以与真实概率p没有任何关系；当出于衍生证券估值目的时，我们假设合适的不是p而是p*。这是风险中性概率的重要应用，我们将在第8章中详细讨论。

练习3.17令u210和r110，研究作为d的函数的p*的性质。

练习3.18时

在第一次阅读时，本节可以跳过，因为本节的主要思想与本章中论述的模型无关。

3.3.1三叉树模型

二叉树模型的一个自然推广是将单时段收益k（n）的可能值的范围